Сколько корней уравнения (3sinπх - π) · (2cosπx - ...

44. Сколько корней уравнения (3sinπх - π) · (2cosπx - 1) = 0 принадлежат промежутку [0; 3]?

A)	3
B)	1
C)	2
D)	4

Ответ: A

Решение

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные имеют смысл.

В данном случае 2 варианта:

а) 3sinπх - π = 0.

3sinπх = π.

sinπх = π/3.

Так как π/3 больше 1 (3,14 / 3 > 1), то sinπх = π/3 не имеет корней, т.к. синус может принимать значения только от -1 до 1 включительно.

б) 2cosπx - 1 = 0.

2cosπx = 1.

cosπx = 1/2.

πx = ± acrcos 1/2 + 2πk = ± π/3 + 2πk, k ∈ Z.

Разделим обе части уравнения на π:

x = ± 1/3 + 2k, k ∈ Z.

Получилась формула множества всех корней уравнения. Но требуется найти корни на промежутке [0; 3]. Для этого подставим несколько значений вместо k.:

- при k = 0: x = ± 1/3;

1/3 ∈ [0; 3].

- при k = 1: x = ± 1/3 + 2;

2 1/3 ∈ [0; 3];

1 2/3 ∈ [0; 3].

- при других значениях k корни уравнения не принадлежат промежутку [0; 3].

Как видно, только 3 корня уравнения принадлежат промежутку [0; 3].

Категория: Тригонометрия
Все тесты по этому предмету

Сколько корней уравнения (3sinπх - π) · (2cosπx - ...

Решение

Рекомендуется посмотреть и остальные тесты