Решите уравнение: tgx – tg(π/3) - tgx·tg(π/3) = 1. ...

43. Решите уравнение: tgx – tg(π/3) - tgx·tg(π/3) = 1.

A)	7π/12 + 2πk, k Є Z
B)	5π/6 + 2πk, k Є Z
C)	7π/6 + πk, k Є Z
D)	7π/12 + πk, k Є Z

Ответ: D

Решение

В первую очередь определяем область допустимых значений (ОДЗ):

Тангенс для 90° и 270° (повторяясь каждые 360°) не существует, поэтому х ≠ π/2 + πk k Є Z.

Применим формулу тангенса разности двух углов:

1 + tgα tgβ

tg(α - β)	=	tgα - tgβ

Преобразуем уравнение:

tgx – tg(π/3) = 1 + tgx·tg(π/3).

По формуле получаем:

1 + tgx tg(π/3)

tg(x - π/3)	=	tgx - tg(π/3)

Так как числитель равен знаменателю, то дробь равна 1.

Таким образом (здесь и далее k Є Z):

tg(x - π/3) = 1.

x - π/3 = arctg 1 + πk = π/4 + πk.

Переносим известные в одну, неизвестные в другую стороны:

х = π/4 + πk + π/3.

х = 3π/12 + 4π/12 + πk = 7π/12 + πk.

Категория: Тригонометрия
Все тесты по этому предмету