Решите уравнение: tgx·tg3x = -1. A) πk/2, k Є Z ...

Ответ: C

Решение

В первую очередь определяем область допустимых значений (ОДЗ):

Тангенс для 90° и 270° (повторяясь каждые 360°) не существует, поэтому х ≠ π/2 + πk и 3х ≠ π/2 + πk, k Є Z.

Применим формулу:

cosα

tgα	=	sinα

Получаем:

tgx·tg3x = sinx/cosx · sin3x/cos3x = sinxsin3x / cosxcos3x = -1.

Воспользуемся свойством пропорции, по которому произведение крайних членов равно произведению средних:

sinxsin3x = -cosxcos3x.

Переносим всё в левую часть:

sinxsin3x + cosxcos3x = 0.

Теперь можно применить формулу косинуса разности двух углов:

cos(α - β) = cosα cosβ + sinα sinβ

sinxsin3x + cosxcos3x = cos(3x - x) = cos2x = 0.

Таким образом (k Є Z):

2х = π/2 + πk.

х = π/4 + πk/2.

Дополнительный комментарий:

а) тангенс 90° (повторяясь каждые 180°) не определен, т.к. tgα = sinα / cosα, а cos90° = 0, но на нуль делить нельзя.

б) котангенс 0° (повторяясь каждые 180°) не определен, т.к. сtgα = cosα = cos / sinα, а sin0° = 0, но на нуль делить нельзя.

Категория: Тригонометрия
Все тесты по этому предмету