Решите уравнение: sin2x = 0 ctgx — cosx ...

43. Решите уравнение:

sin2x	= 0
ctgx — cosx

2πk, k Є Z

πk/2, k Є Z

π/2 + πk, k Є Z

Ответ: D

Решение

В первую очередь определим область допустимых значений (ОДЗ):

1) так как знаменатель не может быть нулем, то (ctgx — cosx) ≠ 0.

2) так как котангенс для 0° и 180° (повторяясь каждые 360°) не существует, то х ≠ πk, k Є Z.

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Поэтому:

Решим уравнение sin2x = 0 и исключим корни, при которых знаменатель обращается в нуль.

Если sin2x = 0, то:

2х = πk, k Є Z.

х = πk/2, k Є Z.

х = πk/2 (k Є Z) означает каждые 90°. На окружности они лежат на концах диаметров.

Но в данном случае в точках х = πk (k Є Z) ctgx не определен (слева и справа на окружности), поэтому эти корни исключаем.

А при х = πk/2 (k Є Z) знаменатель дроби равен нулю (ctg90° - cos90° = 0 - 0 = 0). Эти корни тоже исключаются.

Таким образом, данное уравнение не имеет решений Ø.

Если решать эту задачу перебором ответов, то ответы х = 2πk и х = πk/2 сразу исключаются, т.к. при k = 0 получается х = 0, но котангенс нуля не существует.

В ответе х = π/2 + πk знаменатель обращается в нуль (см. выше).

Следовательно, остается ответ Ø.

Дополнительный комментарий:

В данном уравнении при х = π/2 + πk и числитель, и знаменатель равны нулю. Это означает, что дробь может равняться любому числу, не только нулю x = 0/0 = R, где R - множество всех действительных чисел.

Категория: Тригонометрия
Все тесты по этому предмету

Решите уравнение: sin2x = 0 ctgx — cosx ...

Решение

Рекомендуется посмотреть и остальные тесты