Упростите выражение: 1 - sin4а - cos4а sin4а ...

44. Упростите выражение:

1 - sin⁴а - cos⁴а

sin⁴а

1/cos²а

2tg²а

2ctg²а

Ответ: D

Решение

1) В числителе немного преобразуем выражение и применим формулу разности квадратов:

a² - b² = (a - b)(a + b)

1 - sin⁴а - cos⁴а = 1² - (sin²а)² - cos⁴а = (1 - sin²а)(1 + sin²а) - cos⁴а = cos²а·(1 + sin²а) - cos⁴а (вынесем cos²а за скобки) = cos²а·(1 + sin²а - cos²а) = cos²а·(1 - cos²а + sin²а) = cos²а·(sin²а + sin²а) = 2·cos²а·sin²а.

Здесь применили формулу основного тригонометрического тождества:

sin²α + cos²α = 1

из которого следуют формулы:

sin²α = 1 - cos²α

cos²α = 1 - sin²α

2) Как видно, теперь числитель и знаменатель можно сократить на sin²а:

2·cos²а·sin²а / sin⁴а = 2·cos²а / sin²а = 2ctg²a.

Здесь применили формулу:

ctga = cosa/sina

Категория: Тригонометрия
Все тесты по этому предмету

Упростите выражение: 1 - sin4а - cos4а sin4а ...

Решение

Рекомендуется посмотреть и остальные тесты